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第1章 复数与复平面1

1.1复数1

1.1.1复数的概念1

1.1.2复数的模与辐角1

1.1.3复数的三角表示与指数表示4

1.2复数的运算及几何意义4

1.2.1复数的加法和减法4

1.2.2复数的乘法和除法5

1.2.3复数的乘方和开方7

1.2.4共轭复数的运算性质9

1.3平面点集10

1.3.1点集的概念10

1.3.2区域11

1.3.3平面曲线12

1.3.4单连通区域与多连通区域12

1.4无穷远点与复球面13

1.4.1无穷远点13

1.4.2复球面14

本章小结14

综合练习题115

第2章 解析函数17

2.1复变函数及其相关概念17

2.1.1复变函数的概念17

2.1.2复变函数的极限与连续18

2.2解析函数及其相关概念21

2.2.1复变函数的导数21

2.2.2解析函数的概念22

2.2.3求导运算的法则23

2.3柯西—黎曼条件24

2.3.1函数可导的充分必要条件24

2.3.2函数在区域内解析的充分必要条件26

2.4初等函数27

2.4.1指数函数28

2.4.2对数函数29

2.4.3幂函数31

2.4.4三角函数与反三角函数31

2.4.5双曲函数与反双曲函数33

本章小结34

综合练习题237

第3章 复积分39

3.1复变函数的积分39

3.1.1复变函数积分的概念39

3.1.2复积分的存在性及其计算40

3.1.3复积分的基本性质43

3.2柯西—古萨定理及其推广43

3.2.1柯西—古萨定理43

3.2.2柯西—古萨定理的推广45

3.2.3原函数与不定积分47

3.3柯西积分公式和高阶导数公式49

3.3.1柯西积分公式及最大模原理49

3.3.2解析函数的高阶导数51

3.4解析函数与调和函数的关系53

3.4.1调和函数与共轭调和函数的概念53

3.4.2解析函数与共轭调和函数的关系54

本章小结57

综合练习题359

第4章 级数61

4.1复数项级数61

4.1.1复数序列的极限61

4.1.2复数项级数61

4.2幂级数64

4.2.1复变函数项级数64

4.2.2幂级数65

4.2.3幂级数的收敛圆与收敛半径66

4.2.4幂级数的性质68

4.3泰勒级数70

4.3.1解析函数的泰勒展开式70

4.3.2几个典型初等函数的泰勒展开式71

4.4洛朗级数73

4.4.1函数在圆环形解析域内的洛朗展开式73

4.4.2函数展开成洛朗级数的间接展开法77

本章小结80

综合练习题482

第5章 留数及其应用84

5.1孤立奇点和零点84

5.1.1孤立奇点的定义及性质84

5.1.2零点87

5.1.3无穷远点为孤点奇点90

5.2留数91

5.2.1留数及其相关概念91

5.2.2无穷远点的留数94

5.3留数定理95

5.4留数在定积分计算中的应用98

5.4.1形如∫2π0R（cos θ， sin θ）dθ的积分98

5.4.2形如∫+∞-∞R（x）dx的积分100

5.4.3形如∫R（x）eiax dx （a＞0）的积分102

本章小结103

综合练习题5105

第6章 保形映射107

6.1保形映射的概念及其性质107

6.1.1保形映射的概念107

6.1.2几何特性109

6.1.3几个重要的保形映射112

6.2分式线性映射113

6.2.1分式线性映射的定义113

6.2.2分式线性映射的特性116

6.2.3上半平面与单位圆的分式线性映射119

本章小结122

综合练习题6123

第7章 傅里叶变换125

7.1傅里叶变换的概念125

7.1.1傅里叶级数与傅里叶积分公式125

7.1.2傅里叶变换128

7.2单位脉冲函数131

7.2.1单位脉冲函数的概念及其性质131

7.2.2单位脉冲函数的傅里叶变换132

7.3傅里叶变换的性质133

7.3.1基本性质134

7.3.2卷积与卷积定理136

本章小结139

综合练习题7141

第8章 拉普拉斯变换142

8.1拉普拉斯变换的概念142

8.1.1拉普拉斯变换的定义142

8.1.2拉普拉斯变换存在定理144

8.2拉普拉斯变换的性质145

8.2.1线性与相似性145

8.2.2延迟与位移性质146

8.2.3微分性质148

8.2.4积分性质150

8.2.5初值定理和终值定理151

8.2.6卷积与卷积定理153

8.3拉普拉斯逆变换154

8.3.1反演积分公式154

8.3.2利用留数计算像原函数155

8.4拉普拉斯变换的应用157

8.4.1求解常微分方程157

8.4.2实际应用举例158

本章小结160

综合练习题8161

第9章 快速傅里叶变换163

9.1序列傅里叶（SFT）变换163

9.1.1序列傅里叶变换（SFT）及其逆变换（ISFT）的定义163

9.1.2序列傅里叶变换（SFT）的性质164

9.1.3序列傅里叶变换（SFT）的Matlab实现165

9.2 Z变换简介165

9.2.1 Z变换的定义165

9.2.2单边Z变换166

9.2.3 Z变换及其反变换的计算167

9.3离散傅里叶（DFT）变换167

9.3.1有限序列的离散傅里叶变换167

9.3.2离散傅里叶变换（DFT）与序列傅里叶变换（SFT）的关系168

9.3.3 DFT与Z变换的关系169

9.4快速傅里叶变换170

9.4.1时分算法170

9.4.2频分算法174

9.4.3 Matlab的实现177

本章小结178

综合练习题9178

习题参考答案180

附录184

附录1区域变换表184

附录2傅里叶变换简表189

附录3拉普拉斯变换简表192

附录4 Z变换表197

参考文献198