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第一章 函数1

1.1 函数概念及特性1

一、函数概念1

二、函数的几种特性3

三、反函数4

1.2 初等函数5

一、基本初等函数5

二、复合函数5

三、初等函数6

习题一8

演示与实验9

实验习题一13

数学家的故事13

第二章 极限与连续15

2.1 数列的极限15

2.2 函数的极限19

一、x→x0时函数f（x）的极限19

二、当x→∞时，函数的极限及水平渐近线21

三、无穷大量与垂直渐近线21

2.3 极限的运算法则与性质22

一、无穷小量22

二、极限的四则运算法则23

三、两个重要极限24

四、无穷小的比较28

2.4 函数的连续性29

一、连续与间断的直观描述29

二、连续的定义30

三、函数的间断点32

四、初等函数的连续性33

五、闭区间上连续函数的性质34

习题二35

演示与实验37

实验习题二40

数学家的故事40

第三章 导数与微分42

3.1 导数概念42

一、导数概念42

二、可导性与连续性48

3.2 求导法则49

一、函数和、差、积、商的求导法则49

二、反函数求导法则51

三、基本求导公式52

四、复合函数求导法则52

五、隐函数求导法则53

六、对数求导法54

七、导数的实际意义55

八、相关变化率56

3.3 高阶导数58

3.4 微分及其应用59

一、微分概念59

二、微分的运算61

三、微分的应用63

习题三65

演示与实验68

实验习题三71

数学家的故事72

第四章 中值定理与导数应用74

4.1 中值定理74

4.2 洛必达法则77

一、洛必达法则77

二、0/0，∞/∞型未定式的计算78

三、其他类型未定式的计算80

4.3 导数在几何上的应用81

一、函数的单调性81

二、函数的极值与最值83

三、函数的凸凹性和拐点85

4.4 经济学中的最值问题86

一、边际分析87

二、税收问题88

三、弹性分析90

4.5 导数在其他问题中的应用93

习题四96

演示与实验98

实验习题四101

数学家的故事101

第五章 积分103

5.1 定积分的概念103

一、如何测定走过的距离103

二、曲边梯形面积的计算105

三、定积分的定义105

四、定积分的基本性质107

5.2 不定积分109

一、原函数与不定积分109

二、不定积分的性质110

三、不定积分的几何意义111

5.3 不定积分的计算111

一、不定积分计算的基本公式111

二、不定积分计算的基本方法112

5.4 定积分的计算124

一、积分基本定理124

二、定积分直接积分法125

三、定积分换元积分法126

四、定积分分部积分法129

5.5 无穷限积分130

5.6 定积分的近似计算132

一、梯形法133

二、辛普生（Simpson）法137

习题五140

演示与实验141

实验习题五143

数学家的故事144

第六章 定积分的应用147

6.1 定积分应用的基本思想方法147

一、黎曼和147

二、微元法149

6.2 平面图形的面积151

一、直角坐标情形151

二、极坐标情形154

6.3 体积155

一、平行截面面积为已知的立体的体积155

二、旋转体的体积156

6.4 函数平均值158

6.5 社会科学中的应用160

一、由边际函数或函数的变化率求此函数及相关量160

二、非均匀资金流量的现值与未来值163

三、学习曲线模型164

习题六165

演示与实验167

实验习题六169

数学家的故事169

第七章 多元函数微分学173

7.1 多元函数的基本概念173

一、引例173

二、多元函数173

三、二元函数的几何表示175

四、极限与连续182

7.2 偏导数与全微分183

一、偏导数183

二、高阶偏导数185

三、全微分186

7.3 复合函数与隐函数求导法187

一、求复合函数偏导数的链式法则187

二、隐函数求导法189

7.4 二元函数的极值191

一、（无条件）极值的概念191

二、极值存在的条件191

三、求无条件极值的一般方法192

四、条件极值194

7.5 多元微分的应用196

一、用偏导数作经济分析196

二、经济函数优化问题198

习题七202

演示与实验203

实验习题七208

数学家的故事209

第八章 二重积分211

8.1 二重积分的概念与性质211

一、二重积分的概念211

二、二重积分的性质212

8.2 二重积分的计算213

一、在直角坐标系中计算二重积分213

二、在极坐标系中计算二重积分217

习题八220

演示与实验221

实验习题八222

数学家的故事223

第九章 微分方程及其应用225

9.1 微分方程及其相关概念225

9.2 微分方程的经典案例227

9.3 微分方程的解析解230

一、直接积分法230

二、变量代换法232

三、猜测法234

9.4 定性理论初步239

一、方向场240

二、一阶方程的平衡点及稳定性241

9.5 微分方程的数值解法243

一、欧拉法243

二、改进的欧拉方法244

9.6 微分方程的应用245

习题九248

演示与实验250

实验习题九253

数学家的故事253

第十章 无穷级数256

10.1 无穷级数及其性质256

10.2 常数项级数的敛散性259

一、正项级数敛散性的判别260

二、交错级数的敛散性263

10.3 幂级数及其运算264

一、收敛域的概念264

二、幂级数的概念及敛散性265

三、幂级数的运算267

10.4 函数的幂级数展开269

10.5 幂级数的应用举例271

习题十273

演示与实验274

实验习题十279

数学家的故事280

附录一 部分习题参考答案283

附录二 Mathematica软件使用简介294

参考文献309