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第1章 集合与函数1

1.1 集合与实数集1

1.1.1 集合及其运算1

1.1.2 实数的性质3

1.1.3 区间与邻域5

1.1.4 确界与确界原理5

习题1.1（附答案与提示）7

1.2 映射与函数9

1.2.1 映射9

1.2.2 一元函数的概念10

1.2.3 复合函数11

1.2.4 反函数13

1.2.5 多元函数的概念14

习题1.2（附答案与提示）15

1.3 函数的几种特性与初等函数17

1.3.1 函数的几种特性17

1.3.2 初等函数18

习题1.3（附答案与提示）20

总习题（1）（附答案与提示）23

第2章 极限与连续26

2.1 函数极限的概念26

2.1.1 自变量趋于有限值时函数的极限26

2.1.2 单侧极限30

2.1.3 自变量无限增大时函数的极限30

2.1.4 函数值趋于无穷的情形32

习题2.1（附答案与提示）33

2.2 数列极限的概念36

2.2.1 基本概念36

2.2.2 数列极限与函数极限的关系37

习题2.2（附答案与提示）38

2.3 极限的运算法则40

2.3.1 极限运算法则40

2.3.2 渐近线45

习题2.3（附答案与提示）47

2.4 极限的性质与两个重要极限49

2.4.1 极限的性质49

2.4.2 两个重要极限52

习题2.4（附答案与提示）55

2.5 实数基本定理57

2.5.1 单调有界收敛定理57

2.5.2 闭区间套定理与致密性定理59

2.5.3 柯西收敛准则61

习题2.5（附答案与提示）63

2.6 无穷小与无穷大64

2.6.1 无穷小64

2.6.2 无穷小的比较64

2.6.3 无穷大67

习题2.6（附答案与提示）68

2.7 连续与间断69

2.7.1 函数的连续性70

2.7.2 函数的间断点72

习题2.7（附答案与提示）74

2.8 连续函数的性质76

2.8.1 连续函数的运算76

2.8.2 初等函数的连续性77

2.8.3 有界闭区间上连续函数的性质79

2.8.4 函数的一致连续性82

习题2.8（附答案与提示）83

总习题（2）（附答案与提示）85

第3章 一元函数微分学89

3.1 导数概念89

3.1.1 导数的定义89

3.1.2 导数的几何意义93

习题3.1（附答案与提示）96

3.2 求导法则98

3.2.1 函数和、差、积、商的导数98

3.2.2 复合函数的导数100

3.2.3 反函数的导数102

3.2.4 高阶导数104

习题3.2（附答案与提示）108

3.3 隐函数的导数和参数式求导110

3.3.1 隐函数的导数110

3.3.2 参数式求导113

3.3.3 极坐标式求导115

3.3.4 相关变化率118

习题3.3（附答案与提示）120

3.4 微分122

3.4.1 局部线性化与微分122

3.4.2 微分的运算法则125

3.4.3 高阶微分126

3.4.4 误差估计126

习题3.4（附答案与提示）128

3.5 微分中值定理129

3.5.1 极值概念与费马定理129

3.5.2 微分中值定理131

3.5.3 洛必达法则135

习题3.5（附答案与提示）138

3.6 泰勒公式142

3.6.1 泰勒公式142

3.6.2 几个基本初等函数的麦克劳林公式145

习题3.6（附答案与提示）148

3.7 函数性态的研究150

3.7.1 函数的单调性150

3.7.2 函数极值的判定151

3.7.3 函数的凹凸性153

习题3.7（附答案与提示）157

3.8 最优化问题数学模型160

3.8.1 横梁强度模型161

3.8.2 用料最省模型161

3.8.3 最优路径模型162

3.8.4 运河行船模型163

习题3.8（附答案与提示）164

3.9 求函数零点的牛顿法166

习题3.9（附答案与提示）168

总习题（3）（附答案与提示）168

第4章 一元函数积分学174

4.1 定积分的概念与性质174

4.1.1 定积分的定义174

4.1.2 可积函数类179

4.1.3 定积分的基本性质179

习题4.1（附答案与提示）183

4.2 微积分基本定理185

4.2.1 牛顿-莱布尼兹公式185

4.2.2 变限的定积分与原函数的存在性186

习题4.2（附答案与提示）188

4.3 不定积分190

4.3.1 不定积分的概念与性质190

4.3.2 基本积分表192

习题4.3（附答案与提示）193

4.4 换元积分法196

4.4.1 第一换元法196

4.4.2 第二换元法199

4.4.3 定积分的换元法200

习题4.4（附答案与提示）203

4.5 分部积分法205

4.5.1 不定积分的分部积分法205

4.5.2 定积分的分部积分法208

习题4.5（附答案与提示）210

4.6 有理函数的积分212

4.6.1 有理函数的积分212

4.6.2 三角函数有理式的积分215

习题4.6（附答案与提示）217

4.7 反常积分218

4.7.1 无穷区间上的反常积分218

4.7.2 无界函数的反常积分220

4.7.3 Г-函数与B-函数222

习题4.7（附答案与提示）224

4.8 定积分在几何上的应用225

4.8.1 微元法225

4.8.2 平面图形的面积226

4.8.3 由已知平面截面面积求体积227

4.8.4 旋转体的体积228

4.8.5 光滑平面曲线的弧长与曲率229

4.8.6 旋转体的侧面积232

习题4.8（附答案与提示）233

4.9 定积分在物理上的应用235

4.9.1 变力作功235

4.9.2 质心236

4.9.3 引力238

4.9.4 液体的静压力239

习题4.9（附答案与提示）240

4.10 定积分的近似计算241

4.10.1 矩形法241

4.10.2 梯形法242

4.10.3 抛物线法243

习题4.10（附答案与提示）245

总习题（4）（附答案与提示）245

第5章 微分方程251

5.1 微分方程的基本概念251

习题5.1（附答案与提示）254

5.2 变量可分离方程及齐次方程255

5.2.1 变量可分离方程255

5.2.2 齐次方程257

5.2.3 增长与衰减模型259

习题5.2（附答案与提示）262

5.3 一阶线性微分方程265

5.3.1 线性齐次方程265

5.3.2 线性非齐次方程265

5.3.3 伯努利方程267

习题5.3（附答案与提示）269

5.4 可降阶的高阶方程270

5.4.1 y(n)=f（x）型方程270

5.4.2 y″=f（x,y′）型方程271

5.4.3 y″=f（y,y′）型方程272

习题5.4（附答案与提示）275

5.5 二阶微分方程276

5.5.1 振动与二阶微分方程276

5.5.2 合理猜测法279

5.5.3 二阶线性微分方程解的结构281

5.5.4 常数变易法285

习题5.5（附答案与提示）287

5.6 二阶常系数线性微分方程289

5.6.1 常系数线性齐次微分方程289

5.6.2 常系数线性非齐次微分方程294

5.6.3 欧拉方程297

习题5.6（附答案与提示）299

5.7 微分方程组301

5.7.1 微分方程组的基本概念302

5.7.2 常系数线性微分方程组解法举例304

习题5.7（附答案与提示）305

总习题（5）（附答案与提示）306

附录一 积分表309

附录二 几种常用的曲线317

参考文献320