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第一章 实数1

一、概念1

1.自然数1

自然数1

上篇 代数1

质数与合数2

分解质因数2

最大公约数与最小公倍数3

互质数3

2.整数3

正整数3

负整数4

整数4

奇数和偶数4

有理数5

3.有整数5

正数与负数5

有理数数系表6

数轴6

相反数7

绝对值7

倒数8

比较大小9

乘方9

4.实数10

无理数10

实数10

实数分类的数系表10

5.方根11

平方根11

实数的绝对值11

实数的大小比较11

立方根12

n次方根12

n次次方根符号12

算术根13

开方13

6.非负数13

近似数14

7.近似数和有效数字14

有效数字15

近似计算15

科学计数法15

二、法则与定律17

1.有理数加法法则17

2.有理数减法法则17

5.有理数乘方法则18

3.有理数乘法法则18

4.有理数除法法则18

6.实数的运算法则19

7.实数运算定律19

加法交换律19

加法结合律19

乘法交换律19

乘法结合律19

乘法分配律20

8.运算顺序20

三、应用21

(一)典型方法21

1.分类的方法21

2.数学符号的应用22

3.数形结合的方法23

4.转化思想24

(二)融合训练26

4.两点间的距离27

(三)趣味与应用31

1.代数式34

第二章 代数式34

(一)代数式34

一、概念34

2.代数式的值35

3.代数式的分类35

4.列代数式35

5.代数式的恒等变形36

(二)有理式36

1.整式36

整式36

单项式的次数37

多项式37

单项式的系数37

单项式37

多项式的项38

常数项38

多项式的次数与名称38

多项式各项的排列方法39

同类项39

合并同类项39

因式分解40

因式分解的方法40

因式分解的一般步骤和注意事项44

2.分式44

分式44

真分式与假分式45

约分45

最简分式45

部分分式46

通分46

繁分式46

二次根式47

最简二次根式47

(三)根式47

1.二次根式47

同类二次根式48

分母有理化48

有理化因式48

2.根式49

根式49

同次根式与异次根式50

最简根式50

同类根式50

无理式51

3.代数式的有关概念对应的字母运算图表51

3.分数指数幂52

(四)指数概念的扩充52

1.零指数幂52

2.负整数指数幂52

二、性质 法则54

(一)整式54

1.去括号法则54

2.添括号法则54

3.整式的乘除54

同底数的幂的乘法法则54

同底数的幂的除法法则55

幂的乘方法则55

积的乘方法则56

单项式的乘法法则56

单项式与多项式相乘的法则57

多项式与多项式相乘的法则57

多项式除以多项式58

多项式除以单项式58

单项式除以单项式58

(二)分式60

1.分式的基本性质60

2.分式的变号法则60

3.分式的运算法则61

分式的加减法法则61

分式的乘法法则61

分式除以分式61

分式的乘方法则62

4.繁分式的化简有两个途径62

(三)根式63

1.二次根式的性质63

2.根式“？”的基本性质64

3.有理数指数幂的运算法则64

4.根式的运算性质65

5.根式加减法法则66

6.根式的乘、除、乘方、开方66

1.有理数幂的运算公式67

2.乘法公式67

3.二次根式的化简公式67

三、分式67

4.根式的运算公式68

四、应用69

(一)典型方法69

1.用字母代替数，简化运算69

2.用字母代替数，探求规律69

3.活用公式，巧求值70

4.换元法分解因式72

5.二元二次多项式的因式分解73

(二)融合训练74

(三)趣味与应用85

方程89

2.方程89

一、概念89

(一)等式与方程89

1.等式89

第三章 方程与不等式89

验根90

同解方程90

解方程90

方程的解90

方程的分类91

(二)有理方程91

1.整式方程(组)91

一元一次方程91

解一元一次方程的一般步骤92

含有字母系数的一元一次方程92

二元一次方程93

二元一次方程的解93

二元一次方程的解集94

二元一次方程组94

方程组94

求二元一次方程的方法94

二元一次方程组的解95

解方程组95

二元一次方程组解的讨论95

解的检验96

二元一次方程组的解法96

三元一次方程98

三元一次方程组98

三元一次方程组的解98

三元一次方程组的解法、步骤98

列方程(组)解应用题的步骤100

一元二次方程100

一元二次方程的一般形式101

一元二次方程的解法101

一元二次方程根的判别式104

△与根的关系104

一元高次方程105

一元二次方程的根与系数的关系105

二元二次方程和二元二次方程组106

二元二次方程组的解法106

2.分式方程110

分式方程110

解分式方程的基本思想与增根110

解分式方程的一般步骤111

列分式方程解应用题112

(三)无理方程112

绝对不等式114

矛盾不等式114

1.不等式114

2.不等式的分类114

(四)不等式114

条件不等式115

3.不等式的解115

4.不等式的解集115

5.解不等式115

6.同解不等式115

一元一次不等式116

一元一次不等式解的讨论116

解一元一次不等式的步骤116

解一元一次不等式116

1.一元一次不等式116

(五)一元一次不等式(组)与一元二次不等式116

一元一次不等式组117

2.一元一次不等式组117

一元一次不等式组的解集118

一元一次不等式组的基本类型118

3.一元二次不等式119

一元二次不等式的图象求解法119

解一元二次不等式的步骤120

(六)分式不等式120

1.分式不等式120

2.解分式不等式的方法121

1.绝对值不等式122

2.解绝对值不等式的方法122

3.|x|＞a，|x|＜a型的绝对值不等式122

(七)绝对值不等式122

4.“零点法”解绝对值不等式123

二、性质 定理125

1.等式的性质125

2.方程的同解原理125

3.不等式的三条性质126

4.不等式的同解原理126

5.韦达定理127

三、公式128

(一)典型方法129

1.判别式△的应用129

四、应用129

2.韦达定理的应用130

3.应用方程化循环小数为分数133

4.典型应用题135

5.比较大小的方法140

(二)融合训练142

(三)趣味与应用153

坐标系与坐标平面155

坐标轴与坐标原点155

一、概念155

1.平面直角坐标系155

(一)直角坐标系155

第四章 函数155

象限156

点的坐标156

2.两点间的距离158

同一数轴上两点间的距离158

平面内任意两点间的距离158

2.函数160

函数的定义160

(二)函数160

1.常量和变量160

函数定义域的求法161

3.函数关系的表示法162

解析法162

列表法163

图象法163

(三)正比例函数与反比例函数164

1.正比例函数164

正比例函数的定义164

正比例函数的图象164

3.几点说明165

反比例函数的定义165

反比例函数的图象165

2.反比例函数165

(四)一次函数与二次函数166

1.一次函数166

一次函数的定义166

一次函数的图象166

2.二次函数168

二次函数的定义168

二次函数的图象168

3.作二次函数图象的一般方法169

2.反比例函数y=？(k≠0)的性质170

二、性质170

1.正比例函数y=kx(k≠0)的性质170

3.一次函数y=kx+b(k≠0)的性质171

4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质172

6.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系174

5.抛物线y=ax2，y=a(x+k)2174

三、公式176

1.两点间的距离176

2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)176

顺用公式求距离177

逆用公式求待定常数177

1.距离公式的应用177

(一)典型方法177

四、应用177

距离公式的变形应用178

2.求定义域179

3.待定系数法求函数解析式180

待定系数法180

待定系数法求函数解析式的步骤180

4.运用函数性质解题183

5.求函数的最值185

配方法求最值185

判别式法求最值187

6.数形结合的方法187

7.面积最大与用料最省189

8.求函数关系式190

(二)融合训练192

(三)趣味与应用205

第五章 统计初步208

一、概念208

(一)总体和样本208

1.总体208

2.个体208

3.样体208

(三)众数与中位数209

1.众数209

1.总体平均数209

2.样本平均数209

(二)平均数209

4.样本容量209

2.中位数210

3.去尾平均数210

(四)方差210

1.总体方差210

2.样本方差210

1.频率分布211

2.研究频率分布的步骤211

3.样本标准差211

(五)频率分布211

二、公式213

(一)平均数计算公式213

(二)方差计算公式214

1.样本方差公式214

2.样本标准差公式215

三、应用216

(一)典型方法216

1.四个基本概念及平均数的计算方法216

2.求方差与标准差216

3.列频率分布表，绘制频率分布直方图217

(二)融合训练219

(三)趣味与应用221

下篇 平面几何225

第一章 直线 相交线 平行线225

一、概念225

(一)直线、射线、线段225

1.直线225

直线的表示方法225

直线可以向两方无限延伸225

线段两个端点，线段的长度是有限量226

线段的表示方法226

3.线段226

射线的表示方法226

2.射线226

射线只有一个端点，而另一端可以无限延伸226

线段的延长线227

线段的中点227

(二)角228

1.角的静态定义、角的顶点，角的边228

2.角的表示方法228

3.角的动态定义、始边、终边229

4.平角229

5.周角229

钝角230

互为余角230

7.相关的角230

6.小于平角的角230

锐角230

直角230

互为补角231

互为邻补角231

8.角的度量231

(三)相交线 平行线232

1.对顶角232

2.垂线、垂足232

4.点到直线的距离233

5.线段的垂直平分线233

3.斜线、斜足233

6.角的平分线234

7.三线八角234

8.平行线234

9.两平行线间的距离235

(四)命题、证明235

1.命题235

2.真命题235

3.假命题235

5.定理236

6.证明236

4.公理236

二、公理 定理 性质237

(一)公理237

1.等量公理237

2.不等量公理237

3.关于直线、线段、垂线、平行线的公理237

(二)定理238

(三)性质239

1.直线的性质239

2.有关角的性质239

3.平行线的性质239

利用三角板、直尺画垂线与平行线241

1.垂线与平行线的画法241

三、应用241

(一)典型方法241

利用直尺与圆规作垂线、平行线242

2.角度的计算243

3.巧证三点共线244

4.平移法(辅助线法)244

5.证明垂直、平行245

(二)融合训练246

(三)趣味与应用252

三角形的边254

三角形的内角(即)三角形的角254

三角形的顶点254

(一)三角形254

1.三角形254

一、概念254

第二章 三角形、四边形、相似形254

三角形的外角255

三角形的分类255

2.三角形的主要线段及“五心”256

三角形的角平分线、内心256

三角形的中线、重心256

三角形的外心257

三角形的旁心257

三角形的高、垂心257

三角形的中位线258

3.全等三角形258

(二)多边形258

1.多边形258

多边形258

凸多边形、凹多边形258

多边形的边、顶点、周长、对角线、内角、外角259

2.四边形259

平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形及四边形的从属关系定义259

特殊四边形与一般四边形之间的联系260

两条线段的比261

成比例线段261

(三)成比例线段与相似形261

比例261

1.成比例线段261

黄金分割262

内分点、外分点263

2.相似形263

相似三角形263

相似比263

3.位似图形264

相似多边形、相似比264

射影264

点在一条直线上的正射影264

线段在一条直线上的正射影264

(四)其它265

1.逆定理265

互逆命题、逆命题265

互逆定理、逆定理266

2.对称图形266

轴对称和轴对称图形266

中心对称和中心对称图形267

中心对称与轴对称的区别267

尺规作图268

作图题的分类268

3.基本作图268

平面几何中常见的轴对称图形和中心对称图形268

尺规作图中五种作图公法269

基本作图269

三角形奠基法269

4.面积270

多边形的面积270

分割法270

割补法270

补充法270

角和角的关系271

1.三角形的边角关系271

边和边的关系271

二、定理 性质271

(一)三角形271

边和角的关系272

2.全等三角形273

全等三角形的性质273

全等三角形的判定定理或公理273

3.等腰三角形的判定和性质274

等腰三角形的判定定理274

等腰三角形的性质定理274

4.直角三角形的判定和性质274

判定定理274

性质定理275

2.矩形的性质定理、判定定理278

(二)四边形278

1.平行四边形的性质定理、判定定理278

3.菱形的性质定理、判定定理279

4.正方形的性质定理、判定定理279

5.梯形的性质定理280

6.等腰梯形的性质定理、判定定理280

(三)成比例的线段、相似形281

1.比例的性质281

比例的基本性质281

合比定理281

等比定理281

平行线截等线段定理282

三角形一边的平行线的性质282

2.平行线分线段成比例282

平行线分线段成比例定理282

平行线分线段成比例定理推论282

3.角平分线的性质283

角平分线的性质283

三角形内角平分线性质定理283

三角形内角平分线判定定理283

三角形外角平分线性质定理283

相似三角形的基本定理284

三角形相似的判定定理2284

三角形相似的判定定理1284

4.相似三角形的判定定理和性质定理284

三角形外角平分线判定定理284

三角形相似的判定定理3285

直角三角形相似的判定定理285

三角形相似的判定定理推论1285

三角形相似的判定定理推论2285

三角形相似的判定定理推论3286

三角形相似的判定定理推论4286

三角形相似的判定定理推论5286

三角形相似的判定定理推论6287

相似三角形的性质定理1287

5.射影定理288

相似三角形的性质定理2288

相似三角形的性质定理3288

6.相似多边形的性质定理289

7.位似图形的性质定理289

8.几个重要定理289

共边比例定理289

共角比例定理290

梅涅劳斯定理290

梅涅劳斯定理的逆定理291

塞瓦定理291

塞瓦定理的逆定理292

3.平行四边形的面积公式293

5.梯形的面积公式293

4.菱形的面积公式293

三、公式293

2.矩形的面积公式293

1.凸n边形的内角和公式293

6.勾股定理的公式表示294

7.凸n边形的对角线条数计算公式294

8.海伦公式294

四、应用296

(一)典型方法296

1.分析法和综合法296

平移法(添加辅助平行线)298

2.辅助线法298

对称法299

旋转法301

截长补短法、截大补小法301

3.计算法303

4.特例法证(解)定值问题303

5.面积法305

6.运用方程思想解(证)几何题306

7.反证法307

8.同一法309

(二)融合训练312

(三)趣味与应用326

第三章 三角函数与解三角形331

一、概念331

(一)三角函数331

1.角α的三角函数331

2.直角三角形中锐角α的三角函数332

(二)解直角三角形333

1.三角形的六个基本元素333

2.解直角三角形333

3.仰角、俯角334

4.坡度、坡角334

2.解斜三角形的基本类型有以下四种335

(三)解斜三角形335

1.解斜三角形335

5.方位角335

6.方向角335

二、性质 定理337

(一)0°～180°角的三角函数的性质337

1.三角函数的符号337

2.特殊角的三角函数值337

3.三角函数值的变化338

(二)正弦定理、余弦定理339

1.正弦定理339

2.余弦定理339

1.同角三角函数间的关系341

2.互为余角的三角函数间的关系341

三、公式341

(一)三角函数间的关系341

3.互为补角的三角函数间的关系342

(二)解直角三角形有关的公式342

(三)解斜角三角形有关的公式343

四、应用344

(一)典型方法344

1.利用同角三角函数关系解题的方法344

2.由三角比构造直角三角形解题的方法344

3.利用三角函数的性质解题的方法345

4.根据图形巧作辅助线，转化为解直角三角形的方法347

5.列方程、方程组解三角形的方法348

6.巧用韦达定理解题351

7.巧用正弦定理、余弦定理解题353

(二)融合训练354

(三)趣味与应用365

(一)圆371

1.圆、圆心、半径371

2.圆的内部、圆的外部371

一、概念371

第四章 圆371

3.弦372

4.直径372

5.弧372

6.半圆372

7.优弧372

8.同心圆373

9.等圆373

10.等弧373

11.圆心角373

12.弦心距373

1.直线和圆相离374

(二)直线和圆的位置关系374

2.直线和圆相切、切线、切点374

13.圆周角374

14.圆内角、圆外角374

3.直线和圆相交、割线375

4.切线长375

5.三角形的内切圆、圆的外切三角形375

6.多边形的内切圆、圆的外切多边形375

7.弦切角376

(三)圆和圆的位置关系376

1.两个圆外离376

2.两个圆外切376

3.两个圆相交376

7.圆心距377

9.外公切线377

8.两圆的公切线377

4.两个圆内切377

6.切点377

5.两个圆内含377

10.内公切线378

11.公切线的长378

12.线段(圆弧)和圆弧在一点连接378

13.圆与圆的位置关系(知识小结)379

5.正多边形的中心角380

4.正多边形的边心距380

3.正多边形的半径380

1.正多边形380

(四)正多边形和圆的概念380

2.正多边形的中心380

6.扇形381

7.弓形381

(五)四种命题之间的关系381

1.互逆命题381

2.互否命题382

3.互为逆命题382

4.四种命题形式上的相互关系382

5.一个命题与其他三种命题之间的真假关系382

1.点的轨迹383

2.几种基本轨迹383

(六)点的轨迹383

6.等价命题383

二、性质 定理385

(一)圆385

1.圆的存在唯一性定理385

2.圆的对称性385

3.垂径定理385

4.圆的旋转不变性386

5.圆的相等关系定理387

6.圆的不等关系定理387

7.圆心角度数定理388

8.圆周角的度数定理388

12.圆内接四边形的判定389

11.圆内接四边形的性质定理389

9.圆内角度数定理389

10.圆外角度数定理389

13.托勒密定理390

(二)直线和圆的关系391

1.直线和圆的位置关系的性质定理、判定定理391

2.切线的判定定理391

3.切线的性质定理392

4.切线长定理392

5.圆的外切四边形的性质定理392

6.圆的外切四边形的判定定理392

8.弦切角定理的推论393

9.相交弦定理393

7.弦切角定理393

10.割线定理394

11.切割线定理394

12.圆幂定理395

13.托勒密定理的逆定理395

14.西摩松定理395

15.西摩松定理的逆定理395

(三)圆和圆的位置关系396

1.两圆位置关系的性质定理396

2.两圆位置关系的判定定理396

3.相交两圆的性质定理397

4.相切两圆的连心线，经过切点397

1.正多边形的判定定理398

5.公切线长定理398

(四)正多边形和圆的定理398

2.正多边形的性质定理(1)399

3.正多边形的性质定理(2)399

4.正多边形的性质定理(3)399

5.正多边形的性质定理(4)399

6.正多边形面积定理400

7.正多边形相似的判定定理400

8.正多边形相似的性质定理400

(二)正多边形有关的计算401

3.内公切线长的计算401

2.外公切线长的计算401

1.圆外一点到圆的切线长401

(一)切线长的计算401

三、公式401

(三)圆的度量403

四、应用404

(一)典型方法404

1.利用基本图形证题404

2.利用添辅助线(公切线、公共弦)证题406

3.巧用四点共圆证题407

4.用等量代换证线段成比例408

用等长线段代换408

用等量比代换409

用等量积代换411

5.巧用方程处理几何证明、几何计算问题412

6.巧用面积证题414

7.正多边形的边长与其外接圆半径间的关系416

(二)融合训练418

(三)趣味与应用432

数学史料选439

1.关于代数学的史料439

2.记数法440

3.关于数学符号的史料441

4.杨辉三角形442

5.关于正负数及其运算的史料444

6.方程445

7.中国古代的应用题449

鸡兔同笼问题449

余米推数问题449

湖深问题450

直角三角形问题450

不定方程问题451

8.欧氏几何学451

9.勾股定理452

10.圆周率454

11.三角学史料455

附录457

常数表457

希腊字母表458

数459

等式与不等式性质比较460

方程和不等式461

一元一次不等式组的解的几种情况461

一元一次不等式的解法表462

含有绝对值符号的不等式462

方根表462

不完全一元二次方程的解的情况463

一元二次方程根与系数间的关系463

增根与遗根464

三角函数间的关系表465

方程组标准型和解法465

三角形边角关系表466

解三角形的四种情况表467

解斜三角形ABC中，如遇已知条件是两边及一边的对角时，解的情况表468

线的基本概念469

相交线 平行线470

三角形471

四边形474

几种特殊四边形的性质和判定475

面积 勾股定理476

函数表477

相似形479

圆480